workshops/slides/rsa/rsa.md

title	author	theme	colortheme
RSA - Asimetricna kriptografija i primena	Aleksej Jocic	Warsaw	orchid

Uvod

• Simetricna kriptografija

  • Isti kljuc za sifrovanje i desifrovanje\pause

    $10101 \oplus 11001 = 01100$\pause

    $(m \oplus k) \oplus k =m \oplus (k \oplus k)= m \oplus 0= m$\pause

  • Problem bezbedne razmene kljuceva\pause

  • Problem autenticnosti

Uvod

• Asiemtricna kriptografija

  • Razliciti kljucevi za sifrovanje i desifrovanje\pause

    $f(m,k1)=c$\pause

    $f(c,k2)=m$\pause

  • Kljuc za sifrovanje je javno dostupan, (svi znaju k1)\pause

  • Sifrovanje privatnim kljucem korisceno kao digitalni potpis\pause

    $f(m,k2)=c$\pause

    f(c,k1)=m

RSA

• RSA
  • 1977. Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman\pause
  • 1976. Diffie–Hellman razmena kljuceva\pause

$g^a \equiv A \mod p$\pause

$g^b \equiv B \mod p$\pause

$A^b \equiv (g^a)^b$\pause$\equiv (g^b)^a$\pause$\equiv B^a$\pause$\mod p$

RSA


RSA

Mala Fermaova teorema

Ako je p prost broj, za svako a vazi:

a^{p-1} \equiv 1 \mod p

\pause

Posledica

Ako su p i q prosti brojevi, za svako a vazi:

$a^{(p-1)(q-1)}$\pause$\equiv ({a^{p-1}})^{q-1}$\pause$\equiv 1 \mod q$\pause

$a^{(p-1)(q-1)}$\pause$\equiv ({a^{q-1}})^{p-1}$\pause$\equiv 1 \mod p$\pause

(a^{(p-1)(q-1)}-1) je deljivo i sa p i q.\pause

p i q su prosti, pa mora da je deljivo i sa p \cdot q.

RSA

Primecujemo

$a^{(p-1)(q-1)} \equiv 1 \mod pq$\pause

Takodje: $a^{x(p-1)(q-1)}$\pause$\equiv ({a^x})^{(p-1)(q-1)}$\pause$\equiv 1 \mod pq$\pause

$a^{x(p-1)(q-1)+1} \equiv a \mod pq$\pause

Trazimo

e i d tako da:

$({a^e})^d \equiv a^{ed} \equiv a^{x(p-1)(q-1)+1} \mod pq$\pause

Odnosno: ed \equiv 1 \mod (p-1)(q-1) \pause

d je modularni inverz od e pod modulom $(p-1)(q-1)$\pause

Mozemo koristiti Produzeni Euklidov algoritam.\pause

U buduce cemo oznacavati n=pq, a $\varphi(n)=(p-1)(q-1)$\pause

$a^{\varphi(n)} \equiv 1 \mod n$\pause

$a^{ed} \equiv a^{x\varphi(n)+1}$\pause$\equiv a \mod n$

RSA

• Problem faktorisanja $n=pq$\pause
• \varphi(n)=(p-1)(q-1) nije poznato bez p i $q$\pause
• d kao modularni inverz od e nije poznat bez $\varphi(n)$\pause
• d mozemo da cuvamo tajnim cak i ako objavimo e i n javno\pause

RSA

• Generisanje kljuceva

  • Nadjimo velike proste brojeve p i $q$\pause

    Testovi prostosti brojeva (Fermaov test)\pause

  • Generisemo $n=pq$\pause

  • Nadjimo e koji je uzajamno prost sa $(p-1)(q-1)$\pause

  • Nadjimo d koriscenjem Produzenog Euklidovog algoritma\pause

  • Zaboravimo p i q, jer nam vise ne trebaju\pause

• Javni kljuc se sastoji od brojeva e i n

  m^e \equiv C \mod n

\pause

• Privatni kljuc se sastoji od brojeva d i n

  C^d \equiv m \mod n

\pause

• Digitalni potpis se postize sifrovanjem sa privatim kljucem

  $m^d \equiv S \mod n$\pause

• Provera digitalnog potpisa: S^e \equiv m \mod n

Prodruzeni Euklidov algoritam

def egcd(a, b):
    if a == 0:
        return (b, 0, 1)
    g, y, x = egcd(b%a,a)
    return (g, x - (b//a) * y, y)

def modinv(a, m):
    g, x, y = egcd(a, m)
    if g != 1:
        raise Exception('No modular inverse')
    return x%m

Napadi na RSA

• Napadi na RSA
  • Pogadjanje poruke, potrebno dopunjavanje poruke random podacima (padding)\pause
  • Premali eksponent e, korenovanje sifrovanog teksta za male poruke (veliko e)\pause
  • Koriscenje istog eksponenta za vise kljuceva, napad koriscenjem Kineske teoreme o ostatku (random izabrano e)\pause
  • Desifrovanje sumnjivog teksta, (x^e \cdot C)^d \equiv (x^e)^d \cdot C^d \equiv x \cdot m \mod n

Primena

GNU Privacy Guard

• 1999. Werner Koch\pause
• Generisanje kljuca: gpg --gen-key\pause
• Lista javnih kljuceva: gpg --list-keys\pause
• Export privatnih kljuceva: gpg --export-secret-keys --output backup.gpg\pause
• Upload kljuceva: gpg --send-key [KEYID]\pause
• Sifrovanje poruke: gpg -e file.txt\pause
• Desifrovanje: gpg -d file.txt\pause
• Potpisivanje poruke ili fajla: gpg -s file.exe\pause
• Potpisivanje kljuca: gpg --sign-key [KEYID]\pause
• ASCII output: gpg --armor -se file.txt\pause
• GPG password manager: gpg --armor -c passwords.txt

Primena

Git

• Podesavanje kljuca: git config --global user.signingkey [KEYID]\pause
• Potpisivanje komita: git commit -S\pause


Primena

SSH

• Generisanje kljuca: ssh-keygen [-f filename]\pause
• Dodavanje kljuca na remote masinu: ssh-copy-id [-i filename] user@hostname\pause
• ~/.ssh/authorized_keys

The Onion Router

Tor

• 1990.-te United States Naval Research Laboratory (Paul Syverson,Michael G. Reed,David Goldschlag)\pause
• 20.9.2002. prva verzija Tor-a (javni projekat, anonimnosti u masi)

The Onion Router


Onion hidden services


The Onion Router

• Napadi na Tor
  • Tor ne stiti od vremenske korelacije (pristup sa obe strane veze)\pause
  • Slabosti u aplikacijama koje koriste Tor\pause
  • Pogresno konfigurisane aplikacije\pause
  • DNS Leak

Hvala

Hvala na paznji!