workshops/slides/rsa/rsa.md

title	author	theme	colortheme
RSA - Asimetricna kriptografija i primena	Aleksej Jocic	Warsaw	orchid

Uvod

• Simetricna kriptografija

  • Isti kljuc za sifrovanje i desifrovanje

    10101 \oplus 11001 = 01100

    (m \oplus k) \oplus k =m \oplus (k \oplus k)= m \oplus 0= m

  • Problem bezbedne razmene kljuceva

  • Problem autenticnosti

Uvod

• Asiemtricna kriptografija

  • Razliciti kljucevi za sifrovanje i desifrovanje

    f(m,k1)=c

    f(c,k2)=m

  • Kljuc za sifrovanje je javno dostupan, (svi znaju k1)

  • Sifrovanje privatnim kljucem korisceno kao digitalni potpis

    f(m,k2)=c

    f(c,k1)=m

RSA

• RSA
  • 1977. Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman
  • 1976. Diffie–Hellman razmena kljuceva

g^a \equiv A \mod p

g^b \equiv B \mod p

$A^b \equiv (g^a)^b$$\equiv (g^b)^a$$\equiv B^a$\mod p

RSA


RSA

Mala Fermaova teorema

Ako je p prost broj, za svako a vazi:

a^{p-1} \equiv 1 \mod p

Posledica

Ako su p i q prosti brojevi, za svako a vazi:

$a^{(p-1)(q-1)}$$\equiv ({a^{p-1}})^{q-1}$\equiv 1 \mod q

$a^{(p-1)(q-1)}$$\equiv ({a^{q-1}})^{p-1}$\equiv 1 \mod p

(a^{(p-1)(q-1)}-1) je deljivo i sa p i q.

p i q su prosti, pa mora da je deljivo i sa p \cdot q.

RSA

Primecujemo

a^{(p-1)(q-1)} \equiv 1 \mod pq

Takodje: $a^{x(p-1)(q-1)}$$\equiv ({a^x})^{(p-1)(q-1)}$\equiv 1 \mod pq

a^{x(p-1)(q-1)+1} \equiv a \mod pq

Trazimo

e i d tako da:

({a^e})^d \equiv a^{ed} \equiv a^{x(p-1)(q-1)+1} \mod pq

Odnosno: ed \equiv 1 \mod (p-1)(q-1)

d je modularni inverz od e pod modulom (p-1)(q-1)

Mozemo koristiti Produzeni Euklidov algoritam.

U buduce cemo oznacavati n=pq, a \varphi(n)=(p-1)(q-1)

a^{\varphi(n)} \equiv 1 \mod n

$a^{ed} \equiv a^{x\varphi(n)+1}$\equiv a \mod n

RSA

• Problem faktorisanja n=pq
• \varphi(n)=(p-1)(q-1) nije poznato bez p i q
• d kao modularni inverz od e nije poznat bez \varphi(n)
• d mozemo da cuvamo tajnim cak i ako objavimo e i n javno

RSA

• Generisanje kljuceva

  • Nadjimo velike proste brojeve p i q

    Testovi prostosti brojeva (Fermaov test)

  • Generisemo n=pq

  • Nadjimo e koji je uzajamno prost sa (p-1)(q-1)

  • Nadjimo d koriscenjem Produzenog Euklidovog algoritma

  • Zaboravimo p i q, jer nam vise ne trebaju

• Javni kljuc se sastoji od brojeva e i n

  m^e \equiv C \mod n

• Privatni kljuc se sastoji od brojeva d i n

  C^d \equiv m \mod n

• Digitalni potpis se postize sifrovanjem sa privatim kljucem

  m^d \equiv S \mod n

• Provera digitalnog potpisa: S^e \equiv m \mod n

Prodruzeni Euklidov algoritam

def egcd(a, b):
    if a == 0:
        return (b, 0, 1)
    g, y, x = egcd(b%a,a)
    return (g, x - (b//a) * y, y)

def modinv(a, m):
    g, x, y = egcd(a, m)
    if g != 1:
        raise Exception('No modular inverse')
    return x%m

Napadi na RSA

• Napadi na RSA
  • Pogadjanje poruke, potrebno dopunjavanje poruke random podacima (padding)
  • Premali eksponent e, korenovanje sifrovanog teksta za male poruke (veliko e)
  • Koriscenje istog eksponenta za vise kljuceva, napad koriscenjem Kineske teoreme o ostatku (random izabrano e)
  • Desifrovanje sumnjivog teksta, (x^e \cdot C)^d \equiv (x^e)^d \cdot C^d \equiv x \cdot m \mod n

Primena

GNU Privacy Guard

• 1999. Werner Koch
• Generisanje kljuca: gpg --gen-key
• Lista javnih kljuceva: gpg --list-keys
• Export privatnih kljuceva: gpg --export-secret-keys --output backup.gpg
• Upload kljuceva: gpg --send-key [KEYID]
• Sifrovanje poruke: gpg -e file.txt
• Desifrovanje: gpg -d file.txt
• Potpisivanje poruke ili fajla: gpg -s file.exe
• Potpisivanje kljuca: gpg --sign-key [KEYID]
• ASCII output: gpg --armor -se file.txt
• GPG password manager: gpg --armor -c passwords.txt

Primena

Git

• Podesavanje kljuca: git config --global user.signingkey [KEYID]
• Potpisivanje komita: git commit -S


Primena

SSH

• Generisanje kljuca: ssh-keygen [-f filename]
• Dodavanje kljuca na remote masinu: ssh-copy-id [-i filename] user@hostname
• ~/.ssh/authorized_keys

The Onion Router

Tor

• 1990.-te United States Naval Research Laboratory (Paul Syverson,Michael G. Reed,David Goldschlag)
• 20.9.2002. prva verzija Tor-a (javni projekat, anonimnosti u masi)

The Onion Router


Onion hidden services


The Onion Router

• Napadi na Tor
  • Tor ne stiti od vremenske korelacije (pristup sa obe strane veze)
  • Slabosti u aplikacijama koje koriste Tor
  • Pogresno konfigurisane aplikacije
  • DNS Leak

Hvala

Hvala na paznji!