242 lines
4.8 KiB
Markdown
242 lines
4.8 KiB
Markdown
---
|
||
title:
|
||
- RSA - Asimetricna kriptografija i primena
|
||
author:
|
||
- Aleksej Jocic
|
||
|
||
theme:
|
||
- Warsaw
|
||
colortheme:
|
||
- orchid
|
||
---
|
||
|
||
# Uvod
|
||
- Simetricna kriptografija
|
||
- Isti kljuc za sifrovanje i desifrovanje
|
||
|
||
$10101 \oplus 11001 = 01100$
|
||
|
||
$(m \oplus k) \oplus k =m \oplus (k \oplus k)= m \oplus 0= m$
|
||
- Problem bezbedne razmene kljuceva
|
||
- Problem autenticnosti
|
||
|
||
# Uvod
|
||
- Asiemtricna kriptografija
|
||
- Razliciti kljucevi za sifrovanje i desifrovanje
|
||
|
||
$f(m,k1)=c$
|
||
|
||
$f(c,k2)=m$
|
||
- Kljuc za sifrovanje je javno dostupan, (svi znaju $k1$)
|
||
- Sifrovanje privatnim kljucem korisceno kao digitalni potpis
|
||
|
||
$f(m,k2)=c$
|
||
|
||
$f(c,k1)=m$
|
||
|
||
# RSA
|
||
- RSA
|
||
- 1977\. Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman
|
||
- 1976\. Diffie–Hellman razmena kljuceva
|
||
|
||
$g^a \equiv A \mod p$
|
||
|
||
$g^b \equiv B \mod p$
|
||
|
||
$A^b \equiv (g^a)^b$$\equiv (g^b)^a$$\equiv B^a$$\mod p$
|
||
|
||
# RSA
|
||
<div>
|
||
|
||
</div>
|
||
|
||
# RSA
|
||
## Mala Fermaova teorema
|
||
Ako je $p$ prost broj, za svako $a$ vazi:
|
||
|
||
|
||
$a^{p-1} \equiv 1 \mod p$
|
||
|
||
|
||
|
||
## Posledica
|
||
Ako su $p$ i $q$ prosti brojevi, za svako $a$ vazi:
|
||
|
||
|
||
$a^{(p-1)(q-1)}$$\equiv ({a^{p-1}})^{q-1}$$\equiv 1 \mod q$
|
||
|
||
|
||
$a^{(p-1)(q-1)}$$\equiv ({a^{q-1}})^{p-1}$$\equiv 1 \mod p$
|
||
|
||
|
||
$(a^{(p-1)(q-1)}-1)$ je deljivo i sa $p$ i $q$.
|
||
|
||
|
||
$p$ i $q$ su prosti, pa mora da je deljivo i sa $p \cdot q$.
|
||
|
||
|
||
# RSA
|
||
|
||
## Primecujemo
|
||
$a^{(p-1)(q-1)} \equiv 1 \mod pq$
|
||
|
||
|
||
Takodje:
|
||
$a^{x(p-1)(q-1)}$$\equiv ({a^x})^{(p-1)(q-1)}$$\equiv 1 \mod pq$
|
||
|
||
|
||
$a^{x(p-1)(q-1)+1} \equiv a \mod pq$
|
||
|
||
|
||
## Trazimo
|
||
$e$ i $d$ tako da:
|
||
|
||
|
||
$({a^e})^d \equiv a^{ed} \equiv a^{x(p-1)(q-1)+1} \mod pq$
|
||
|
||
|
||
Odnosno:
|
||
$ed \equiv 1 \mod (p-1)(q-1)$
|
||
|
||
|
||
$d$ je modularni inverz od $e$ pod modulom $(p-1)(q-1)$
|
||
|
||
|
||
Mozemo koristiti `Produzeni Euklidov algoritam`.
|
||
|
||
|
||
U buduce cemo oznacavati $n=pq$, a $\varphi(n)=(p-1)(q-1)$
|
||
|
||
|
||
$a^{\varphi(n)} \equiv 1 \mod n$
|
||
|
||
|
||
$a^{ed} \equiv a^{x\varphi(n)+1}$$\equiv a \mod n$
|
||
|
||
|
||
# RSA
|
||
|
||
- Problem faktorisanja $n=pq$
|
||
- $\varphi(n)=(p-1)(q-1)$ nije poznato bez $p$ i $q$
|
||
- $d$ kao modularni inverz od $e$ nije poznat bez $\varphi(n)$
|
||
- $d$ mozemo da cuvamo tajnim cak i ako objavimo $e$ i $n$ javno
|
||
|
||
|
||
# RSA
|
||
- Generisanje kljuceva
|
||
- Nadjimo velike proste brojeve $p$ i $q$
|
||
|
||
|
||
Testovi prostosti brojeva (Fermaov test)
|
||
- Generisemo $n=pq$
|
||
- Nadjimo $e$ koji je uzajamno prost sa $(p-1)(q-1)$
|
||
- Nadjimo $d$ koriscenjem Produzenog Euklidovog algoritma
|
||
- Zaboravimo $p$ i $q$, jer nam vise ne trebaju
|
||
- Javni kljuc se sastoji od brojeva $e$ i $n$
|
||
|
||
|
||
$m^e \equiv C \mod n$
|
||
|
||
|
||
|
||
- Privatni kljuc se sastoji od brojeva $d$ i $n$
|
||
|
||
|
||
$C^d \equiv m \mod n$
|
||
|
||
|
||
|
||
- Digitalni potpis se postize sifrovanjem sa privatim kljucem
|
||
|
||
|
||
$m^d \equiv S \mod n$
|
||
|
||
- Provera digitalnog potpisa:
|
||
$S^e \equiv m \mod n$
|
||
|
||
# Prodruzeni Euklidov algoritam
|
||
|
||
```
|
||
def egcd(a, b):
|
||
if a == 0:
|
||
return (b, 0, 1)
|
||
g, y, x = egcd(b%a,a)
|
||
return (g, x - (b//a) * y, y)
|
||
|
||
def modinv(a, m):
|
||
g, x, y = egcd(a, m)
|
||
if g != 1:
|
||
raise Exception('No modular inverse')
|
||
return x%m
|
||
```
|
||
|
||
# Napadi na RSA
|
||
|
||
- Napadi na RSA
|
||
- Pogadjanje poruke, potrebno dopunjavanje poruke random podacima (padding)
|
||
- Premali eksponent $e$, korenovanje sifrovanog teksta za male poruke (veliko $e$)
|
||
- Koriscenje istog eksponenta za vise kljuceva, napad koriscenjem Kineske teoreme o ostatku (random izabrano $e$)
|
||
- Desifrovanje sumnjivog teksta, $(x^e \cdot C)^d \equiv (x^e)^d \cdot C^d \equiv x \cdot m \mod n$
|
||
|
||
# Primena
|
||
|
||
## GNU Privacy Guard
|
||
- 1999\. Werner Koch
|
||
- Generisanje kljuca: `gpg --gen-key`
|
||
- Lista javnih kljuceva: `gpg --list-keys`
|
||
- Export privatnih kljuceva: `gpg --export-secret-keys --output backup.gpg`
|
||
- Upload kljuceva: `gpg --send-key [KEYID]`
|
||
- Sifrovanje poruke: `gpg -e file.txt`
|
||
- Desifrovanje: `gpg -d file.txt`
|
||
- Potpisivanje poruke ili fajla: `gpg -s file.exe`
|
||
- Potpisivanje kljuca: `gpg --sign-key [KEYID]`
|
||
- ASCII output: `gpg --armor -se file.txt`
|
||
- GPG password manager: `gpg --armor -c passwords.txt`
|
||
|
||
# Primena
|
||
|
||
## Git
|
||
- Podesavanje kljuca: `git config --global user.signingkey [KEYID]`
|
||
- Potpisivanje komita: `git commit -S`
|
||
<div>
|
||
|
||
</div>
|
||
|
||
# Primena
|
||
|
||
## SSH
|
||
- Generisanje kljuca: `ssh-keygen [-f filename]`
|
||
- Dodavanje kljuca na remote masinu: `ssh-copy-id [-i filename] user@hostname`
|
||
- `~/.ssh/authorized_keys`
|
||
|
||
# The Onion Router
|
||
|
||
## Tor
|
||
- 1990\.-te United States Naval Research Laboratory (Paul Syverson,Michael G. Reed,David Goldschlag)
|
||
- 20.9.2002. prva verzija Tor-a (javni projekat, anonimnosti u masi)
|
||
|
||
|
||
# The Onion Router
|
||
|
||
<div>
|
||
|
||
</div>
|
||
|
||
# Onion hidden services
|
||
|
||
<div>
|
||
|
||
</div>
|
||
|
||
# The Onion Router
|
||
|
||
- Napadi na Tor
|
||
- Tor ne stiti od vremenske korelacije (pristup sa obe strane veze)
|
||
- Slabosti u aplikacijama koje koriste Tor
|
||
- Pogresno konfigurisane aplikacije
|
||
- DNS Leak
|
||
|
||
# Hvala
|
||
|
||
Hvala na paznji!
|